求和型数列有界性判断的秒杀技巧
考研数学常考题——判断 $\sum \ln\frac{n}{n+2}$ 这种求和型数列的上下界。掌握一个通用技巧：展开后看「未抵消项」，再瞄一眼极限行为。
引言
数列有界性判断是考研数学二的高频考点。看似要逐项算，实则根本不用算——把对数求和展开，抵消规律会自然浮现。这类题有一个万能切入角度：拆项 + 找「剩下什么」。
1. 拆项：把 $\ln\frac{n}{n+2}$ 变成差的形式
题目给的求和是：
$$a_n = \ln\frac{1}{3}+\ln\frac{2}{4}+\ln\frac{3}{5}+\cdots+\ln\frac{n}{n+2}$$
对数的核心性质：**$\ln\frac{A}{B} = \ln A - \ln B$**。把每一项都拆开：
$$a_n = \ln 1 - \ln 3 + \ln 2 - \ln 4 + \ln 3 - \ln 5 + \cdots + \ln(n-1) - \ln(n+1) + \ln n - \ln(n+2)$$
正项：$\ln 1, \ln 2, \ln 3, \ldots, \ln n$
负项：$-\ln 3, -\ln 4, -\ln 5, \ldots, -\ln(n+1), -\ln(n+2)$
2. 关键洞察：抵消规律决定答案
正项和负项的索引一对比就清楚——**$\ln 3, \ln 4, \ldots, \ln n$ 在正负两边各出现一次，相互抵消**。
剩下没抵消的只有四项：
$$\ln 1 + \ln 2 - \ln(n+1) - \ln(n+2)$$
因为 $\ln 1 = 0$，封闭形式立刻写出来：
$$a_n = \ln 2 - \ln(n+1) - \ln(n+2) = \ln\frac{2}{(n+1)(n+2)} = \ln\frac{2}{n^2+3n+2}$$
这就是求和型数列的「核心简化」——抵消后只剩常数项 + 末尾负项的组合。
3. 上界分析：分母 > 分子，$\ln$ 一定 ≤ 0
$n \geq 1$ 时，$(n+1)(n+2) = n^2+3n+2 \geq 2$，所以：
$$\frac{2}{n^2+3n+2} \leq 1$$
两边取对数：**$a_n \leq \ln 1 = 0$**。
数列有上界（实际上界就是 0，在 $n=1$ 时取到）。
4. 下界分析：$n \to \infty$ 时分母奔向无穷
当 $n \to \infty$，分母 $n^2+3n+2 \to \infty$，分数 $\frac{2}{n^2+3n+2} \to 0^+$。
取对数：$a_n \to -\infty$。
严格论证：对任意实数 $M$，只要 $n$ 足够大，必有 $\frac{2}{n^2+3n+2} < e^M$，即 $a_n < M$。这正是「无下界」的定义——任何下界都守不住。
结论
数列 ${a_n}$ 只有上界而无下界，答案为 A。
判断口诀
看剩余项 + 看极限
- 拆项找抵消：把 $\ln$ 拆成差，索引重合的项相消
- 数封闭形式：剩下的就是答案
- 瞄一眼极限：分子有限、分母 $\to \infty$ → 整体 $\to -\infty$ → 无下界
- 同时检查上界：分母 ≥ 分子 → 分数 ≤ 1 → 对数 ≤ 0 → 有上界
掌握这套流程，面对 $\sum \ln\frac{n}{n+k}$、$\sum \ln\frac{n}{an+b}$ 这类求和型数列都能直接套用。