2026 考研数学二·公式速查卡（高中数学删减版）

2026 考研数学二·公式速查卡（高中数学删减版）

砍掉 2026 考研不考的 5 章，保留 6 章核心。一张能直接塞进双轨制复习的速查卡。

引言

杰哥 2026 考研考数学二 + 408 + 政治 + 英语，数学二考纲：极限 / 导数 / 积分 / 多元微分 / 二重积分 / 常微分方程 / 行列式 / 矩阵 / 概率 / 数列 / 解析几何。

这份速查卡从高中 12 章数学公式中砍掉 5 章不考内容（复数 / 极坐标参数方程 / 立体几何 / 比例性质 / 复合二次根式），保留 6 章核心。反三角函数数学二不直接考，但作为积分工具必背——arcsin/arccos/arctan 的导数公式 + 三角代换对应的不定积分结果，是不定积分章节的”开锁钥匙”。

砍掉依据：2020 高考旧标内容（极坐标参数方程、射影定理深度版）2026 高考已删，考研更不考；比例性质/复合二次根式是初中难度，考研完全用不到。

1. 三角函数（考研核心·大题必出）

1.1 三角函数定义

在角 α 终边上取 P(x, y)，r = |OP|：

  • sin α = y/r
  • cos α = x/r
  • tan α = y/x
  • cot α = x/y

1.2 同角三角函数关系

  • 平方关系：sin²α + cos²α = 1；1 + tan²α = sec²α；1 + cot²α = csc²α
  • 倒数关系：tan α · cot α = 1
  • 相除关系：tan α = sin α / cos α

1.3 诱导公式口诀

奇变偶不变，符号看象限。

  • 例：sin(3π/2 − α) = −cos α
  • 例：cot(15π/2 − α) = tan α
  • 例：tan(3π − α) = −tan α

1.4 y = A sin(ωx + φ) + B（A > 0, ω > 0）

  • 最大值 = A + B，最小值 = B − A
  • 周期 T = 2π/ω，频率 f = ω/(2π)
  • 相位 = ωx + φ，初相 = φ
  • 对称轴：ωx + φ = kπ + π/2（k ∈ Z）

1.5 单调区间

  • sin x：递增 [2kπ − π/2, 2kπ + π/2]；递减 [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2]
  • cos x：递增 [2kπ − π, 2kπ]；递减 [2kπ, 2kπ + π]
  • tan x：递增 (kπ − π/2, kπ + π/2)

1.6 两角和差公式

  • sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
  • cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
  • tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α · tan β)

1.7 二倍角公式

  • sin 2α = 2 sin α cos α
  • cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
  • tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α)

1.8 万能公式（考研常考）

把 sin、cos 统一换成 tan(α/2) 的有理式，便于化简：

  • sin α = 2 tan(α/2) / (1 + tan²(α/2))
  • cos α = (1 − tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
  • tan α = 2 tan(α/2) / (1 − tan²(α/2))

1.9 积化和差（考研常考）

  • sin α · cos β = (1/2)[sin(α + β) + sin(α − β)]
  • cos α · sin β = (1/2)[sin(α + β) − sin(α − β)]
  • cos α · cos β = (1/2)[cos(α + β) + cos(α − β)]
  • sin α · sin β = −(1/2)[cos(α + β) − cos(α − β)]

1.10 和差化积（考研常考）

  • sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) · cos((α−β)/2)
  • sin α − sin β = 2 cos((α+β)/2) · sin((α−β)/2)
  • cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) · cos((α−β)/2)
  • cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) · sin((α−β)/2)

1.11 正弦定理 / 余弦定理 / 三角形面积

  • 正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
  • 余弦定理：cos B = (a² + c² − b²) / (2ac)
  • 面积公式：
    • S = (1/2) · bc sin A
    • S = abc / (4R)
    • S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))（海伦公式，p 为半周长）

2. 函数（幂函数 + 指数函数）

2.1 幂函数 y = xⁿ

n 函数 性质
1 y = x 奇函数，单调递增
2 y = x² 偶函数，抛物线
3 y = x³ 奇函数，单调递增
−1 y = 1/x 反比例，双曲线
1/2 y = √x 定义域 x ≥ 0
−2 y = 1/x² 偶函数

2.2 指数函数 y = aˣ

  • a > 1：单调递增，过 (0, 1)
  • 0 < a < 1：单调递减，过 (0, 1)
  • 图象恒过定点 (0, 1)

3. 反三角函数（不直接考·但作为积分工具必背）

3.1 三大反三角函数

函数 定义域 值域 奇偶 单调
y = arcsin x [−1, 1] [−π/2, π/2] 奇 增
y = arccos x [−1, 1] [0, π] — 减
y = arctan x R (−π/2, π/2) 奇 增

恒等式：arcsin x + arccos x = π/2

3.2 导数公式（考研必背·不定积分基础）

  • (arcsin x)’ = 1 / √(1 − x²)
  • (arccos x)’ = −1 / √(1 − x²)
  • (arctan x)’ = 1 / (1 + x²)
  • (arccot x)’ = −1 / (1 + x²)

3.3 三角代换对应结果（考研必背·积分工具）

  • ∫dx / √(a² − x²) = arcsin(x/a) + C（|x| < a）
  • ∫dx / √(a² + x²) = ln|x + √(a² + x²)| + C
  • ∫dx / (a² + x²) = (1/a) · arctan(x/a) + C
  • ∫dx / √(x² − a²) = ln|x + √(x² − a²)| + C（|x| > a）

3.4 最简三角方程解集

  • sin x = a（|a| ≤ 1）：x = (−1)ⁿ arcsin a + nπ
  • cos x = a（|a| ≤ 1）：x = ±arccos a + 2nπ
  • tan x = a：x = arctan a + nπ

4. 不等式（考研必背）

4.1 均值不等式（两正数 a, b）

调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 均方根：

  • 2/(1/a + 1/b) ≤ √(ab) ≤ (a + b)/2 ≤ √((a² + b²)/2)
  • 等号成立条件：a = b

变形：

  • a + b ≥ 2√(ab)
  • a² + b² ≥ 2ab
  • ab ≤ (a + b)² / 4
  • (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

4.2 三角不等式（必背）

|a − b| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|

  • 等号成立条件：a、b 同号

4.3 n 次幂不等式

  • n 为正奇数：aⁿ < bⁿ ⇔ a < b
  • n 为正偶数：aⁿ < bⁿ ⇔ |a| < |b|

5. 数列

5.1 等差数列

  • 通项：aₙ = a₁ + (n − 1)d
  • 前 n 项和：Sₙ = n · a₁ + n(n − 1)d / 2 = n(a₁ + aₙ) / 2

5.2 等比数列

  • 通项：aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
  • 前 n 项和：Sₙ = a₁(1 − qⁿ) / (1 − q)（q ≠ 1）

5.3 性质

若 m + n = p + q：

  • 等差：aₘ + aₙ = aₚ + a_q
  • 等比：aₘ · aₙ = aₚ · a_q

6. 排列组合 + 二项式定理

6.1 两个原理

  • 加法原理：分类完成（”或”关系，类间互斥）→ 加
  • 乘法原理：分步完成（”且”关系，步间连续）→ 乘

6.2 排列数与组合数

  • A(n,m) = n! / (n − m)!
  • C(n,m) = n! / [m! · (n − m)!]
  • 性质：C(n,m) = C(n, n−m)

6.3 二项式定理

  • (a + b)ⁿ = Σ C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ（k = 0, 1, …, n）
  • 通项：T_{k+1} = C(n,k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
  • 二项式系数和：C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2ⁿ
  • 奇数项系数和 = 偶数项系数和 = 2ⁿ⁻¹

7. 解析几何（考研核心·大题必出）

7.1 直线方程 5 种形式

  • 点斜式：y − y₀ = k(x − x₀)
  • 斜截式：y = kx + b
  • 两点式：(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁)
  • 截距式：x/a + y/b = 1
  • 一般式：Ax + By + C = 0

7.2 弦长公式（大题模板）

|AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂| = √(1 + k²) · √((x₁ + x₂)² − 4x₁x₂)

7.3 椭圆 x²/a² + y²/b² = 1

  • 焦点：(±c, 0)，c² = a² − b²
  • 准线：x = ±a²/c
  • 离心率：e = c/a（0 < e < 1）
  • 焦半径（大题模板）：|PF₁| = a + ex₀，|PF₂| = a − ex₀
  • 通径：2b²/a

7.4 双曲线 x²/a² − y²/b² = 1

  • 焦点：(±c, 0)，c² = a² + b²
  • 准线：x = ±a²/c
  • 离心率：e = c/a（e > 1）
  • 渐近线：y = ±(b/a)x
  • 通径：2b²/a

7.5 抛物线标准方程

  • y² = 2px → 焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2
  • x² = 2py → 焦点 (0, p/2)，准线 y = −p/2

7.6 圆与直线位置关系

  • 方法 1：联立方程看判别式 Δ（> 0 交 / = 0 切 / < 0 不交）
  • 方法 2：圆心到直线距离 d vs 半径 r

7.7 焦参数（椭圆/双曲线通用）

p = 焦点到准线距离 = b²/a

总结·核心考点卡片

卡片 1：万能公式 + 积化和差 + 和差化积
三角大题化简的”三件套”，遇到复杂三角表达式时优先往这三个方向化。

卡片 2：反三角导数 + 三角代换积分
不定积分遇到 √(a² ± x²) 形式立刻套三角代换，对应结果就是反三角函数或对数。

卡片 3：焦半径公式 + 联立判别式 + 韦达定理
解析几何大题的标准模板——设直线 → 联立 → 判别式 + 韦达 → 代入焦半径公式。

行动建议

每日 5 公式轻量复习，按章节循环。